2013年高考理科数学试题(新课标全国卷Ⅰ)
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17、(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,
∠BPC=90°
(1)若PB=,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA
18、(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。
19、(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为50%,且各件产品是否为优质品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望。
20、(本小题满分12分)已知圆 : ,圆 : ,动圆 与 外切并且与圆 内切,圆心 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求C的方程; (Ⅱ) 是与圆 ,圆 都相切的一条直线, 与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
21、(本小题满分共12分)已知函数 = , = ,若曲线 和曲线 都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线
(Ⅰ)求 , , , 的值
(Ⅱ)若 ≥-2时, ≤ ,求 的取值范围。
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22、(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 题目略
23、(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为 。
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)。
24、(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数 = , = .
(Ⅰ)当 =2时,求不等式 < 的解集;
(Ⅱ)设 >-1,且当 ∈[ , )时, ≤ ,求 的取值范围.
2013年高考理科数学试题(新课标全国卷Ⅰ)答案
17.【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC= ,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得 = = ,∴PA= ;
(Ⅱ)设∠PBA= ,由已知得,PB= ,在△PBA中,由正弦定理得, ,化简得, ,∴ = ,∴ = .
18.【解析】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE, , ,
∵AB= , = ,∴ 是正三角形,
∴ ⊥AB,∵CA=CB,∴CE⊥AB, ∵ =E,∴AB⊥面 , ∴AB⊥ ;…6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB, ⊥AB,
又∵面ABC⊥面 ,面ABC∩面 =AB,∴EC⊥面 ,∴EC⊥ ,
∴EA,EC, 两两相互垂直,以E为坐标原点, 的方向为 轴正方向,| |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系 ,有题设知A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(-1,0,0),则 =(1,0, ), = =(-1,0, ), =(0,- , ), ……9分
设 = 是平面 的法向量,则 ,即 ,
可取 =( ,1,-1),∴ = ,
∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为 . ……12分
19.【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥,
∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= + = .…6分
(Ⅱ)X的可能取值为400,500,800,并且
P(X=400)=1- = ,P(X=500)= ,P(X=800)= = ,
∴X的分布列为
……10分
EX=400× +500× +800× =506.25 ……12分
20.【解析】由已知得圆 的圆心为 (-1,0),半径 =1,圆 的圆心为 (1,0),半径 =3.
设动圆 的圆心为 ( , ),半径为R.
(Ⅰ)∵圆 与圆 外切且与圆 内切,∴|PM|+|PN|= = =4,
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左顶点除外),其方程为 .
(Ⅱ)对于曲线C上任意一点 ( , ),由于|PM|-|PN|= ≤2,∴R≤2,
当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
∴当圆P的半径最长时,其方程为 ,
当 的倾斜角为 时,则 与 轴重合,可得|AB|= .
当 的倾斜角不为 时,由 ≠R知 不平行 轴,设 与 轴的交点为Q,则 = ,可求得Q(-4,0),∴设 : ,由 于圆M相切得 ,解得 .
当 = 时,将 代入 并整理得 ,解得 = ,∴|AB|= = .
当 =- 时,由图形的对称性可知|AB|= ,
综上,|AB|= 或|AB|= .
21【解析】(Ⅰ)由已知得 ,
而 = , = ,∴ =4, =2, =2, =2;……4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, , ,
设函数 = = ( ),
= = ,
有题设可得 ≥0,即 ,
令 =0得, = , =-2,
(1)若 ,则-2< ≤0,∴当 时, <0,当 时, >0,即 在 单调递减,在 单调递增,故 在 = 取最小值 ,而 = = ≥0,
∴当 ≥-2时, ≥0,即 ≤ 恒成立,
(2)若 ,则 = ,
∴当 ≥-2时, ≥0,∴ 在(-2,+∞)单调递增,而 =0,
∴当 ≥-2时, ≥0,即 ≤ 恒成立,
(3)若 ,则 = = <0,
∴当 ≥-2时, ≤ 不可能恒成立,
综上所述, 的取值范围为[1, ].
23.【解析】将 消去参数 ,化为普通方程 ,
即 : ,将 代入 得,
,
∴ 的极坐标方程为 ;
(Ⅱ) 的普通方程为 ,
由 解得 或 ,∴ 与 的交点的极坐标分别为( ), .
24.【解析】当 =-2时,不等式 < 化为 ,
设函数 = , = ,
其图像如图所示,从图像可知,当且仅当 时, <0,∴原不等式解集是 .
(Ⅱ)当 ∈[ , )时, = ,不等式 ≤ 化为 ,
∴ 对 ∈[ , )都成立,故 ,即 ≤ ,
∴ 的取值范围为(-1, ].
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