2013年高考理科数学试题（新课标全国卷Ⅰ）

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，

∠BPC＝90°

(1)若PB=，求PA；

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA

18、（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°.

（Ⅰ）证明AB⊥A₁C;

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB=2，求直线A₁C 与平面BB₁C₁C所成角的正弦值。

19、（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为50%，且各件产品是否为优质品相互独立.

（1）求这批产品通过检验的概率；

（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。

 20、(本小题满分12分)已知圆 : ,圆 : ,动圆 与 外切并且与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线 C.
    （Ⅰ）求C的方程；
    （Ⅱ） 是与圆 ,圆 都相切的一条直线， 与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

21、（本小题满分共12分）已知函数 ＝ ， ＝ ，若曲线 和曲线 都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线

（Ⅰ）求 ， ， ， 的值

（Ⅱ）若 ≥－2时， ≤ ，求 的取值范围。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲  题目略

23、（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 

 已知曲线C₁的参数方程为 ( 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为 。

（Ⅰ）把C₁的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。

24、（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数 = , = .

（Ⅰ）当 =2时，求不等式 ＜ 的解集；

（Ⅱ）设 ＞-1,且当 ∈[ ， )时， ≤ ,求 的取值范围.

2013年高考理科数学试题（新课标全国卷Ⅰ）答案

17．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC= ，∴∠PBA=30^o，在△PBA中，由余弦定理得 = = ，∴PA= ；

（Ⅱ）设∠PBA= ，由已知得，PB= ，在△PBA中，由正弦定理得， ，化简得， ，∴ = ，∴ = .

18．【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE， ， ，

∵AB= ， = ，∴ 是正三角形，

∴ ⊥AB，∵CA=CB，∴CE⊥AB, ∵ =E，∴AB⊥面 ，  ∴AB⊥ ；…6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB， ⊥AB，

又∵面ABC⊥面 ，面ABC∩面 =AB，∴EC⊥面 ，∴EC⊥ ，

∴EA，EC， 两两相互垂直，以E为坐标原点， 的方向为 轴正方向，| |为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系 ，有题设知A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(－1,0,0),则 =（1,0， ）, = =(－1,0, ), =(0,－ , ),  ……9分

设 = 是平面 的法向量，则 ，即 ，

可取 =（ ，1，-1），∴ = ，

∴直线A₁C 与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为 .       ……12分

19．【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥，

∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= + = .…6分

（Ⅱ）X的可能取值为400,500,800，并且

P(X=400)=1- = ，P(X=500)= ，P(X=800)= = ，

∴X的分布列为

                                                      ……10分

EX=400× +500× +800× =506.25                  ……12分

20．【解析】由已知得圆 的圆心为 （-1，0）,半径 =1，圆 的圆心为 (1,0),半径 =3.

设动圆 的圆心为 （ ， ），半径为R.

（Ⅰ）∵圆 与圆 外切且与圆 内切，∴|PM|+|PN|= = =4，

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为 .

（Ⅱ）对于曲线C上任意一点 （ ， ），由于|PM|-|PN|= ≤2，∴R≤2,

当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.

∴当圆P的半径最长时，其方程为 ，

当 的倾斜角为 时，则 与 轴重合，可得|AB|= .

当 的倾斜角不为 时，由 ≠R知 不平行 轴，设 与 轴的交点为Q，则 = ，可求得Q（-4，0），∴设 ： ，由 于圆M相切得 ，解得 .

当 = 时，将 代入 并整理得 ，解得 = ，∴|AB|= = .

当 =－ 时，由图形的对称性可知|AB|= ，

综上，|AB|= 或|AB|= .

21【解析】（Ⅰ）由已知得 ，

而 = ， = ，∴ =4， =2， =2， =2；……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，

设函数 = = （ ），

= = ，

有题设可得 ≥0，即 ，

令 =0得， = ， =－2，

（1）若 ，则－2＜ ≤0，∴当 时， ＜0，当 时， ＞0，即 在 单调递减，在 单调递增，故 在 = 取最小值 ，而 = = ≥0，

∴当 ≥－2时， ≥0，即 ≤ 恒成立，

(2)若 ，则 = ，

∴当 ≥－2时， ≥0，∴ 在(－2,+∞)单调递增，而 =0，

∴当 ≥－2时， ≥0，即 ≤ 恒成立，

(3)若 ，则 = = ＜0，

∴当 ≥－2时， ≤ 不可能恒成立，

综上所述， 的取值范围为[1, ].

 23．【解析】将 消去参数 ，化为普通方程 ，

即 ： ，将 代入 得，

，

∴ 的极坐标方程为 ；

（Ⅱ） 的普通方程为 ，

由 解得 或 ，∴ 与 的交点的极坐标分别为（ ）， .

24．【解析】当 =-2时，不等式 ＜ 化为 ，

设函数 = ， = ，

其图像如图所示，从图像可知，当且仅当 时， ＜0，∴原不等式解集是 .

（Ⅱ）当 ∈[ ， )时， = ，不等式 ≤ 化为 ，

∴ 对 ∈[ ， )都成立，故 ，即 ≤ ，

∴ 的取值范围为（-1， ].